В книге «Теоретическая арифметика» Арнольда В. И. автор, дав определение равномощных между собой множеств, (уже без определения), дает понятие числа: "...мы выделим в каждом из множеств данного класса лишь те внешние, безразличные по отношению к качественному составу его черты, которые характеризуются его принадлежностью к данному классу равномощных между собой множеств. Это и есть как раз те свойства, которые имеют в виду, когда говорят о количестве или числе элементов множества." с.18. Таким образом известное, формировавшееся тысячелетиями понятие количество либо обретает, либо к нему добавляется еще одно новое понятие - "число". Какая необходимость заставила математиков количество назваmь числом и почему это не зафиксировано определением? Теперь можно говорить, что количество ног у собаки равно их числу. Как с этим понятием согласовать, например число 3+4i и узнать чему равно его количество? Может быть этот учебник уже устарел и есть другое объяснение этого основного понятия? А если это принято как определение, то оно неверно.

Почему? По простой причине. Количество – понятие не материальное, в то время, как число – вещь, по определению Пифагора, понятие материальное. Именно здесь начинается субъективное, не природное формирование понятие числа от человека. Если оно правильно, то следовало бы указать ошибочность определения числа Пифагором. Если определение Пифагора правильное, в чем я убежден, то надо с ним согласиться и исправить допущенную ошибку и ее последствия.
"Вещи суть числа" Пифагор.

Ну знаете Пифагор в некотором смысле философ. Да числа у Пифагора вещественны. Но ведь это и неудивительно ведь первые числа (натуральные) были чисто вещественными в том самом смысле, что люди при помощи их описывали свое окружение (людей, горы, предметы быта и т.п.).

Сравнивая, замечаем, что Пеано в аксиомах обходится без использования буквенных символов, в то время, как автор во второй, третьей и четвертой аксиомах использует их. В этом случае, мы должны поверить автору, что под этими символами скрываются натуральные числа.

Но это же аксиомы для натуральных чисел. Т.е. это по сути свойства натуральных чисел. Что тут не так?

Вот дословный текст пяти аксиом Пеано: 1) 0 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 0 не следует ни за каким натуральным числом;4) Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом; 5) аксиома полной индукции.

Как видно, Пеано не использовал никаких символов типа a, b, c , n. Почему я должен верить, что эти символы именно то, что о них написано? Вопрос кажется глупым. но я думаю, что Пеано не воспользовался символами, чтобы избежать их многозначного толкования. Мы можем лишь предполагать, что означают эти символы, пока нет возможности это проверить.

Погодите, но ведь 0 не является натуральным числом. 0 - это уже из разряда целых чисел (у вас аксиомы 1 и 3 неверны). Откуда у вас текст взят?

Нет ну это суть символы. Можно и без них обойтись. Просто с ними удобнее сейчас понимать аксиомы Пеано. Не относитесь к этому эмоционально - это всего лишь обозначения и не более того...

В этой же книге на стр.48. А насчет нуля, Арнольд замечает: "То, что первый элемент системы здесь 0, а не 1 не имеет принципиального значения".

Значит мне надо внимательно прочесть Арнольда... интересный момент, я всегда считал, что 0 не является натуральным числом. Придется посыпать "голову пеплом".