Перенесено из блога физика (на mail): "Пожалуйста, не надо смешивать две вещи. Бесконечности о которых я говорил - это действитель-но неопределенности, которые решаются с помощью правил Лопиталя или других приемов (раз-ложение в ряд Тейлора часто срабатывает) - это было точно подмечено. Но потом вдруг пошла речь о бесконечных множествах. А это - совсем другая тема. Но, между, прочим бесконечные мно-жества тоже можно сравнивать. …….. Множество натуральных чисел обладает наименьшей мощ-ностью среди бесконечных множеств. Эта мощность обозначается "алеф_0". Мощности двух бес-конечных множеств равны, если существует биективное (т.е. взаимооднозначение) отображение одного множества в другое. Таким образом, приведенный пример: числа, кратные 2 и числа, крат-ные 1000 - оба эти множества имею ту же мощность, что и множество натуральных чисел. Биек-тивные сопоставления очевидны: n -> 2n и, соотвественно, n->1000n. А вот множество действи-тельных чисел, например, имеет большую мощность - "алеф_1". Вообще, если мощность какого-либо бесконечного множества равна "алеф_n", то мощность множества всех его подмножеств бу-дет "алеф_n+1". Так что и такие бесконечности можно сравнивать."
Возражения. В основном по А.Н.Колмогорову.
1) каждое бесконечное множество имеет собственное подмножество, которому оно равно-мощно, и наоборот. Вместо сравнения бесконечных множеств принято их делить на счет-но- и несчетно- бесконечные множества. Например: к первым - натуральные числа, ко вто-рым - действительные числа. Бесконечности не сравниваются. Отображения (сюръекция, инъекция, биекция) множеств определяются для конечных систем объектов. Два подхода: «актуальная» и «потенциальная» бесконечности. Первая Ваша, вторая – моя. Остальное скопирую из точки зрения А.Н.Колмогорова: «Дело в том, что бесконечные системы мате-матических объектов (например, натуральных или действительных чисел) никогда не за-даются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо "образовал" множество натуральных чисел, перечислив их фактически "все" одно за другим.»
2) «Пожалуйста, не надо смешивать две вещи». Согласился. Разведем их в разные стороны:
• Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах в математическом анализе.
• В виде "несобственных" бесконечно удалённых геометрических образов и неопреде-ляемом понятии точки
• В теории множеств.
Во всех трёх местах, по А.Н.Колмогорову бесконечности не сравниваются («не имеет (лишено) смысла»). Содержание бесконечности одно и тоже во всех 3-х местах: в основе один тот же аксиоматический подход. Ссылка:
http://slovari.yandex.ru/dict/bse/artic ... /17900.htm Ко-нечно следовало поискать что-то более современное и профессиональное. Но, по-моему, это-го достаточно.
РЕЗЮМЕ: Насчет ссылок на А.Н.Колмогорова, возражений нет? Доверяем? Остаюсь при сво-ём. Бесконечности не сравниваются. Но есть повод задуматься. Закончу фразой А.Н.Колмогорова: «Точке зрения потенциальной бесконечности противополагается взгляд на бесконечные множества как "актуально" заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных мно-жеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, ещё нельзя считать закон-ченным». Гениальный хитрец, - всё-таки оставил место для творчества, в обход коммунисти-ческой идеологии. В начале статьи у него была «коммунистическая» ссылка: "Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математи-ческой абстракции" (Энгельс Ф., Анти-Дюринг). И его собственный комментарий к этому: «Ма-териальная основа, математического бесконечного, может быть понята только при условии, что оно рассматривается в диалектическом единстве с конечным. Каждая математическая теория связана обязательным для неё требованием внутренней формальной непротиворечи-вости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить это требование с существенно противо-речивым характером действительности бесконечности. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности. Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы lim an = ¥, или в теории множеств - беско-нечные мощности, то это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные специальные виды математических бесконечностей являются лишь крайне упрощёнными, схематизированными образами различных сторон бес-конечности действительного мира». Уберем коммунистический материализм, и получим: «Вы-яснение вопроса…., ещё нельзя считать законченным».
ЧУТЬ-ЧУТЬ ОТ СЕБЯ:
Двойственность понятия бесконечности (соответственно бесконечно малого и бесконечно большого), заложена аксиоматикой математического аппарата, через попытку сопоставлять её с реальностью. Решая в физике проблемы сингуляр-ности и сходимости в искривлённой метрике пространства, без объяснения этой двойственно-сти, ответ лёгким никак не получится. В природе всё просто. Возможна или нет иная математи-ческая аксиоматика, не порождающая этой двойственности? Солидарен с А.Н.Колмогоровым:«нельзя считать законченным». А.Н.Колмогоров проблему обозначил точ-но. Ещё одна ссылка:
http://www.philosophy.ru/library/ksl/katr_010.html
Может кто-нибудь выскажется ещё? Очень хотелось бы.
Вход
Регистрация
FAQ
Поиск
) : "можно сравнить только степень стремление к бесконечности у функции (так например в моем понимании exp(-x) стремиться к минус безконечности быстрее чем x(-n), где x - стремиться к безконечности, а n-натуральное число, exp экспонента." Совершенно солидарен. И по Колмагорову примерно такой же ход рассуждений. Вообще математика, как я понимаю, по поводу своих бесконечно малых-больших 
не комплексует нисколько. Считает это всё неопределлённостями ("от на 0 делить нельзя" до правил Лопиталя и т.д.). Комплексы начинаются там, где начинается сопостовление математических выкладок (у меня например 
Интересно вспомнить Фридмана. Фридман отбрасывал t < 0 под тем предлогом, что отрицательно время не имеет физического смысла. То есть в математический аппарат вводил субъективность, не следующую из самой математики. 
Наверно аналогичных примеров можно привести много. А хочется математики бех подобной исскуственности. Вот и пополз в 16 аксиом. С ними интерсно получается. В школе их показвают безсистемно. А в институте к ним не возвращаются совсем, считая, что всё уже определено и так. И вообще о них наверно мало кто задумывается. 